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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

EJERCICIO 1

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→+∞(x4−10x+1)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{4}-10 x+1\right)
b) lim⁡x→+∞2x2x2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}
c) lim⁡x→+∞x3+3x+12x4+2x2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+3 x+1}{2 x^{4}+2 x^{2}+1}
d) lim⁡x→+∞x2+1−xx+5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-x}{x+5}
e) lim⁡x→+∞x3+1−xx+5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}
f) lim⁡x→+∞x+sen⁡xx−cos⁡x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}
g) lim⁡x→+∞9x2+65x−1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{9 x^{2}+6}}{5 x-1}
h) lim⁡x→+∞5−x1+4x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5-\sqrt{x}}{1+4 \sqrt{x}}
i) lim⁡x→+∞(x−x2+1)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)
j) lim⁡x→+∞(x2−6x−40−x)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-6 x-40}-x\right)
k) lim⁡x→+∞sen⁡xx\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x}
l) lim⁡x→+∞x∣x∣+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{|x|+1}
m) lim⁡x→+∞e−4x\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-4 x}
n) lim⁡x→+∞ln⁡(1x)\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{1}{x}\right)
EJERCICIO 2

Calcule, si es posible, los límites cuando x→+∞x\rightarrow+\infty y cuando x→−∞x\rightarrow-\infty de las siguientes funciones:

a) f(x)=−3x5+x2−1f(x)=-3 x^{5}+x^{2}-1
b) f(x)=9+x2f(x)=\sqrt{9+x^{2}}
c) f(x)=1−xf(x)=\sqrt{1-x}
d) f(x)=x2+32x−1f(x)=\frac{x^{2}+3}{2 x-1}
e) f(x)=x3−5x2x+3f(x)=\frac{x^{3}-5 x^{2}}{x+3}
f) f(x)=x2−2x+3−xf(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+3}-x
g) f(x)=ex+1+43−2exf(x)=\frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}}
h) f(x)=sen⁡xxf(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}
i) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}
j) f(x)=x∣x∣+1f(x)=\frac{x}{|x|+1}
EJERCICIO 3

Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican

a) f(x)=1x3,x=0+,x=0−f(x)=\frac{1}{x^{3}}, x=0^{+}, x=0^{-}
b) f(x)=2x+1x+3,x=−3+,x=−3−f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}, x=-3^{+}, x=-3^{-}
c) f(x)=5x2x+3,x=−3+,x=−3−f(x)=\frac{5 x^{2}}{x+3}, x=-3^{+}, x=-3^{-}
d) f(x)=x+3x2+1,x=−1+f(x)=\frac{x+3}{x^{2}+1}, x=-1^{+}
e) f(x)=e1/x,x=0+,x=0−f(x)=e^{1 / x}, x=0^{+}, x=0^{-}
f) f(x)=ex−1x,x=0+,x=0−f(x)=e^{\frac{x-1}{x}}, x=0^{+}, x=0^{-}
g) f(x)=2x2−3x+1x2−1,x=1,x=−1+,x=−1−f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}, x=1, x=-1^{+}, x=-1^{-}
h) f(x)=1−x1−x2,x=1−,x=−1+f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}, x=1^{-}, x=-1^{+}
EJERCICIO 4

Calcular los siguientes límites

a) lim⁡x→0+x4−2x3\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{4}-2}{x^{3}}
b) lim⁡x→3x2−2x−34x−12\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}
c) lim⁡x→3+(x2−2x−34x−12)2x−3\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}
d) lim⁡x→01−x−1+xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}
e) lim⁡x→2(x2−1x−2−x2+x−2x2−2x)\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right)
g) lim⁡x→5x2−252x+6−4\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{\sqrt{2 x+6}-4}
h) lim⁡x→0+(ln⁡x)2x\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(\ln x)^{2}}{x}
i) lim⁡x→0xcos⁡(1x)\lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x}\right)
j) lim⁡x→0x2sen⁡(1x)\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
k) lim⁡x→0sen⁡x(2+sen⁡(1x))\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen} x\left(2+\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)
EJERCICIO 5

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→0sen⁡(3x)2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}
b) lim⁡x→04xsen⁡2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{\operatorname{sen} 2 x}
c) lim⁡x→0sen⁡(5x)sen⁡3x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\operatorname{sen} 3 x}
d) lim⁡x→0sen⁡(3x+6)x+2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x+6)}{x+2}
e) lim⁡x→01−cos⁡(3x)x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x}
f) lim⁡x→01−cos⁡(5x)x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}}
g) lim⁡x→0xsen⁡x1−cos⁡x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x}
h) lim⁡x→03x+4sen⁡(2x)x2+5sen⁡x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+4 \operatorname{sen}(2 x)}{x^{2}+5 \operatorname{sen} x}
EJERCICIO 6

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→+∞(1+5x)x2+1x+1\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x+1}}
b) lim⁡x→−∞(3x+13x+4)2x2+1x−3\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+1}{3 x+4}\right)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}}
c) lim⁡t→0(1+3t)1/t\lim _{t \rightarrow 0}(1+3 t)^{1 / t}
d) lim⁡x→0(1+sen⁡x)1/x\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen} x)^{1 / x}
e) lim⁡x→2+(3x+25x−2)1x−2\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}
f) lim⁡x→2−(3x+25x−2)1x−2\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}
g) lim⁡x→2−(1+3x+1)x22x+1\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(1+\frac{3}{x+1}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x+1}}
h) lim⁡h→0ln⁡(h+2)−ln⁡2h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}
i) lim⁡y→0ln⁡(1+y)y\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\ln (1+y)}{y}
j) lim⁡h→0eh−1h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}
EJERCICIO 7

Sea f(x)f(x) una función tal que sen⁡(5x)x<f(x)<x+4−2x+194\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} \lt f(x)<\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}. Calcular lim⁡x→0xf(x)+sen⁡xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}.

EJERCICIO 8

Determine en cada caso el valor de la constante aa

a) lim⁡x→+∞ax2+4x+1−1x=5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{a x^{2}+4 x+1}-1}{x}=5
b) lim⁡x→1x2+ax−1−x3+ax−1x−1=−2\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1}=-2
EJERCICIO 9

Halle los límites en +∞+\infty y en −∞-\infty de las siguientes funciones. Además calcule, si existe, el límite en los puntos indicados

a) f(x)=10e2x5e2x+3x2f(x)=\frac{10 e^{2 x}}{5 e^{2 x}+3 x^{2}}
b) g(x)=4e−x2x2−16g(x)=\frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}, x=4x=4, x=−4x=-4
EJERCICIO 10

Marque la única respuesta correcta

a) El lim⁡x→0(sen⁡xx+xsen⁡(1x))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}+x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)
□\square no existe □\square es igual a 1□1 \quad \square es igual a 0□0 \quad \square es infinito
b) El lim⁡x→0x2+ax+1−1x=2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2 para
□\square ningún valor de a□a=4□a=0□a \quad \square a=4 \quad \square \quad a=0 \quad \square todo aa
EJERCICIO 11

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→1sen⁡(xπ)sen⁡(3xπ)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}
b) lim⁡x→1sen⁡(xπ)x−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{x-1}
c) lim⁡x→0ln⁡(1+5x)ex−1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}

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